单一参数正弦交流R、L、C(电阻/电感/电容)稳态电路

在正弦稳态交流电路中,各种电气设备的模型可用电阻R、电感L、电容C以及它们的各种组合方式来表示。如白炽灯可视为纯电阻,日光灯是由电阻和电感串联组成的。为了研究交流稳态电路中电流、电压、功率等问题,首先分析R、L、C这三种参数单独在正弦交流电路中的电压、电流、功率,为以后分析三种参数共同作用下的交流电路打下基础。

电阻元件的交流电路

如下图所示的交流电路中,认为电阻R是理想线性电阻,其电流、电压的参考方向已标注在图中。

电阻元件的交流电路

电流与电压的关系

当加在电阻两端的电压为u=Umsinωt=U√2 sinωt时,并以它为参考量,则电阻上流过的电流为:
公式

由上式可见,电阻上电流与电压的关系为:

  1. 电流与电压是同频率的正弦量;
  2. 电流与电压的大小关系为:公式
  3. 相位相等,即φiu

电流与电压的波形见上图b。用相量法表示电流、电压之间的关系为:

公式

相量图如上图c所示。上式也是交流电阻电路欧姆定律的相量形式。

功率关系

在任一瞬间,电压瞬时值和电流瞬时值的乘积称为瞬时功率,用符号p表示:

瞬时功率公式

由上式可见,电阻的瞬时功率是随时间变化的。它由两部分组成,一部分为恒定量UI;另一部分是幅值为UI,频率为2ω的余弦函数。p的曲线如上图b所示。由于u、i相位相同,所以瞬时功率总是正值,即P≥0,这说明电阻总是消耗功率的,电阻元件总是从交流电源吸收电能转换为其他形式的能量,这种转换过程是不可逆的。

由于瞬时功率随时间不断地进行周期性变化,在工程上应用很不方便。因此,取瞬时功率在一个周期内的平均值来表示交流电功率的大小,即称为平均功率,用P表示。

平均功率公式

由于平均功率是电阻实际消耗的功率,所以又称为有功功率,单位为瓦(W)或千瓦(kW)。如电灯泡的额定功率是100W,说明它工作时消耗的有功功率是100W。

电感元件的交流电路

下图a交流电路是由线性理想电感元件构成的,其电流、电压的参考方向已标在图中。

电感元件的交流电路

电压与电流的关系

当通过电感的电流为i=Imsinωt=I√2 sinωt时,并以它为参考量,由《电路中的无源元件:电阻、电容和电感》一文中的下式:

电感两端的电压

可得电感两端的电压为:

电感电压计算公式

由上式可见,电感上电压与电流是同频率的正弦量;电压与电流的数量关系为:

电感中电压与电流的关系公式

XL称为电感的感抗,当频率的单位为Hz,电感的单位为H时,感抗的单位为Ω。

由上式可见,感抗反映了电感元件对交流电流阻碍能力的大小,它与L、f成正比。在相同电压作用下,L越大说明其产生的自感电动势越大(eL=-L(di/dt)),则对电流的阻碍能力越大,电流就越小;频率越高,即通过电感的电流变化率越大,其产生的自感电动势越大,电流也就越小。所以一个电感为L的线圈,当通过频率不同的交流电流时,对电流的阻碍作用是不同的,即XL的数值是不同的。频率越高,XL越大,电流越难通过。如果f=0,则XL=0,说明直流电流很容易通过电感元件。直流电路中若有电感元件,电路在稳态时电感元件对电流没有阻碍作用,可视为短路。

电感电路中的电压、电流波形见上图b所示。

电压与电流的相位关系是:电压超前电流90°,或电流落后电压90°。用相量形式表示,电压与电流的关系有:

电感电路中电压与电流的相量表示

上相量式既表示了电压与电流的数值关系,又表示了它们的相位关系。ji说明了电压相量是在电流相量的基础上逆时针方向旋转了90°,电压、电流之间的相位差角为90°。电压、电流之间的相量图如上图c所示。

功率关系

电感电路的瞬时功率为:

电感电路的瞬时功率计算公式

瞬时功率pL的波形如上图d所示,从图中可以看出,pL的幅值为UI,频率为2ω,即pL以2倍于电流的频率按正弦规律变化。当u、i同为正值或同为负值时,如图d中第1、第3个1/4周期,pL为正值,说明在这个时段内,电感从电源吸收电能,并将电能转换为磁能储存起来;当u、i方向相反时,如图d中第2个、第4个1/4周期,pL为负值,说明在这个时段内,电感将储存的磁场能转换成电能送回电源。瞬时功率正、负半周包围的面积相等,说明电感从电源吸收的电能等于送回电源的电能。即:

纯电感不消耗电能,它只与电源不断地进行能量的交换。

电感的平均功率为:

电感的平均功率计算公式

平均功率为零只说明电感不消耗有功功率,并不说明电感中没有功率,电感与电源之间有能量交换,所以瞬时功率并不等于零。瞬时功率的最大值即UI的乘积叫做无功功率,用符号QL表示,它反映了电感与电源交换能量的最大规模。

电感无功功率计算公式

工程上的变压器、电动机都是通过电感线圈与电源进行电能和磁能转换而工作的,但必须由电源提供无功功率,所以无功功率是电感元件工作时必须要的功率,不能理解为没有用的功率

算一算

题:电感线圈的电感L=1H,接到电压为u=220√2 sin(314t+60°)V的电源上,求流过电感的电流i和无功功率QL。

解:电压的有效值相量为:

相量表示

计算电感电路

电容元件的交流电路

如下图所示的交流电路中,电容元件C认为是理想线性元件,其电流、电压的参考方向已标在图中。

电容元件的交流电路

电流与电压的关系

当加在电容两端的电压为u=Umsinωt=U√2sinωt时,并以u为参考量,由前文《电路中的无源元件:电阻、电容和电感》中的下式:

电流电容的关系

可得电容电路的电流为:

电容电路的电流公式

由上式可见,电容上电流与电压是同频率的正弦量;电流与电压的大小关系为:

电容电路中电流与电压的大小关系

Xc称为电容的容抗,当频率的单位为Hz,电容的单位为F时,容抗的单位为Ω。

由上式可见,容抗反映了电容元件对交流电流阻碍能力的大小,它与C、f成反比。在相同电压作用下,按Q=CUc式,C越大,说明它容纳的电荷量越大,则它对电流的阻碍能力越小,电流就越大;若f越高,即电容的充电、放电过程越快,说明电容对电流的阻碍能力越小,电流也就越大。所以一个电容元件,在不同频率的正弦电压作用下,其对电流的阻碍作用是不同的,频率越高,Xc越小,电流越易通过。如果f=0,Xc=∞,即直流电流不能通过电容元件。直流电路中若有电容元件,电路在稳态时相当于开路。可见,在电路中,电容有隔直流通交流的作用

电容电路中的电流、电压波形如图b所示。

电流与电压的相位关系

电流与电压的相位关系是,电流超前电压90°,或电压落后电流90°。用相量形式表示,电流与电压的关系有:

电流电压关系相量表示

上相量式既表示了电压与电流的数值关系,又表示了它们的相位关系。-ji说明电压相量是在电流相量的基础上向顺时针方向旋转了90°,电压、电流之间的相位差角为90°。电流在相位上超前电压90°。

功率关系

电容电路的瞬时功率:

电容电路瞬时功率计算公式

瞬时功率pc的波形如图d所示,从图中可以看出,pc的幅值为UI,频率为2ω,即以2倍于电压的频率按正弦规律变化。当u、i同是正值或负值时,如图d中第1、第3个1/4周期,pc为正,说明在这个时段内,电容从电源吸收电能并将电能储存起来;当u、i中有一个是负值时,如图d中第2、第4个1/4周期,pc为负值,即在这个时段内电容将储存的电能送回电源。瞬时功率正、负半周曲线包围的面积相等,说明电容从电源吸收的能量等于它送回电源的能量,即:

纯电容不消耗能量,它只与电源不断地进行能量的交换。

电容的平均功率为:

电容的平均功率计算公式

平均功率为零只是说明电容不消耗有功功率,并不说明电容中没有功率。电容与电源之间有能量交换,所以瞬时功率并不等于零。瞬时功率的最大值UI的乘积称为无功功率,用符号Qc表示,它反映了电容与电源交换能量的最大规模。

电容的无功功率计算公式

Qc的单位为乏(var)或千乏(kvar)。

算一算

题:已知电容器的电容量C=10μF,现分别将它接在⑴直流220V电源上;(2)工频交流电压有效值220V电源上;(3)500Hz、220V交流电源上,求电容的电流I和无功功率Qc

解:(1)在直流220V电源上因为直流电压的频率f=0,所以容抗:

算式

由计算结果可知,电容对直流相当于开路;对高频电流阻抗小,电流易通过;对低频电流阻抗大,电流难通过。利用电容器的这种特性,可以将电容器制成滤波器。

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