瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率讲解

功率三角形由电阻、电感和电容组合而成的电路在工作时要从电源吸取功率,显然此功率与单一参数电路的功率是不完全相同的。本篇将三种元件组合成的电路作为一个无源二端网络讨论其功率,不涉及电路内部的组合方式,如右图所示。

设流入该二端网络的电流$i=I\sqrt{2}sin\omega t$,二端网络两端点之间的电压$u=U\sqrt{2}sin\left ( \omega t+\varphi  \right )$,二端网络的等效复阻抗$Z=|Z|\angle \varphi $。

瞬时功率

二端网络在某瞬时吸收的功率称为瞬时功率,用符号p表示。

$$ \begin{align} p & =ui\\ & =U\sqrt{2}sin\left ( \omega t+\varphi  \right )\times I\sqrt{2}sin\omega t
\\ & =UI\left [ cos\varphi -cos\left ( 2\omega t+\varphi  \right ) \right ]\end{align}$$

从上式中可知,瞬时功率总是随时间而变化的,当p为正值时,表示二端网络从电源吸收功率;当p为负值时,表示二端网络向电源释放功率。

有功功率

由于瞬时功率随时间不断地变化,工程上应用很不方便。在工程上常用的交流电路的功率是指有功功率,即取瞬时功率在一个周期内的平均值,又称为平均功率,并用P表示,有功功率的单位是W或kW。

$$ \begin{align} P &  =\frac{1}{T}\int_{T}^{0}pdt\\  & =\frac{1}{T}\int_{T}^{0}UI\left [ cos\varphi -cos\left ( 2\omega t+\varphi  \right ) \right ]dt\\ &  =UIcos\varphi\end{align}$$

从上式可知,有功功率是一个不随时间变化的恒定值。因为二端网络中有电阻、电感和电容,而电感、电容是不消耗有功功率的,所以有功功率就是二端网络中电阻所消耗的功率。如日光灯的额定功率是40 W,就是指日光灯等效电路中电阻所消耗的功率是40 W。

上式表明有功功率不仅与电压、电流有效值的乘积有关,还和电压与电流相位差角φ的余弦函数有关。式中的cosφ为电路的功率因数,φ角也称为功率因数角。由于φ角是二端网络复阻抗的阻抗角,所以功率因数是由二端网络的参数和频率决定的。

无功功率

在二端网络中,由于有电感、电容,它们虽然不消耗电能,但与电源之间有能量的交换。从前述单一参数交流电路中可知,对电感,有$Q_{L}=U_{L}I$;对电容,有$Q_{C}=U_{C}I$。故二端网络总的无功功率是全部电感和电容无功功率的代数和。应该注意到,在同一交流电流作用下,或在同一交流电压作用下,无论是并联还是串联电路,电感和电容瞬时功率的符号始终是相反的。在串联电路中电流$\dot{I}$是同一电流,但电压$\dot{U}_{L}$和$\dot{U}_{C}$反相;并联电路中电压$\dot{U}$是同一电压,但电流$\dot{I}_{L}$和$\dot{I}_{C}$反相。所以,电路无功功率代数和为:

$$Q=Q_{L}-Q_{C}=UIsin\varphi $$

由前文《R、L、C串联和并联的正弦稳态电路》中的阻抗三角形图可知:

$$\begin{matrix}
cos\varphi =\frac{R}{|Z|}\\
sin\varphi  =\frac{X}{|Z|}
\end{matrix}$$

由此可得有功功率和无功功率分别为:

$$\left.\begin{matrix}
P=UIcos\varphi =UI\frac{R}{|Z|}=I^{2}R\\ \\
Q=UIsin\varphi =UI\frac{X}{|Z|}=I^{2}X\\
\end{matrix}\right\}$$

视在功率

二端网络的总电压和总电流有效值的乘积称为视在功率,用符号S表示,即:$S=UI$,视在功率的单位是伏安(VA),或千伏安(kVA)。

在工程上,常用视在功率来表示电气设备的额定容量,如变压器。电气设备的额定视在功率等于额定电压和额定电流的乘积,即$S_{N}=U_{N}I_{N}$。例如,一台视在功率为10000kVA的发电机,当负载功率因数$cos\varphi =1$时,能发出1000kW的有功功率,当负载功率因数$cos\varphi =0.6$,电压、电流达到额定值时,它仅能发出6000kW的有功功率。

有功功率P,无功功率Q和视在功率S三者之间的关系为:

功率三角形

$$\begin{matrix}
P=Scos\varphi \\
Q=Ssin\varphi \\
S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\\
\varphi =arctan\frac{Q}{P}
\end{matrix}$$

且三者也可以组成一个直角三角形,如图所示,此三角形叫做功率三角形

若二端网络中含有多个不同功率因数的负载时,每个负载的视在功率分别以S1、S2、S3……表示,但总的视在功率:

$$S\neq S_{1}+S_{2}+S_{3}+\cdots $$

在求总视在功率时,应分别求出总有功功率P和总无功功率Q,然后根据功率三角形再求出视在功率。即:

$$\begin{matrix}
P=P_{1}+P_{2}+P_{3}+\cdots\\
Q=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\cdots\\
S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}
\end{matrix}$$

近期热评