R、L、C串联和并联的正弦稳态电路

RLC串联的交流电路

下图所示式$R$、$L$、$C$(电阻、电感、电容)三个元件串联的交流电路。电流、电压的参考方向已经标注在图中。

RLC串联电路图

因串联电路中各元件流过同一电路,所以以电流作为参考量。设电流为$i=I_{m}sin\omega t $,则$R$、$L$、$C$各元件上的电压为:

$$ u_{R}=I\sqrt{2}sin\omega t $$

$$ u_{L}=I\sqrt{2}sin\left ( \omega t+90^{\circ} \right ) $$

$$ u_{C}=I\sqrt{2}sin\left ( \omega t-90^{\circ} \right ) $$

根据基尔霍夫定律可知,电路总电压与各元件上的电压代数和相等,即:

$$ u=u_{R}+u_{L}+u_{C} $$

显然,上式中的总电压u是与电流和各元件上电压频率相同的正弦量,可用下式表示:

$$ u=U\sqrt{2}sin\left ( \omega t+\varphi \right ) $$

在上式中只要求出总电压的有效值U和初相位角$\varphi$,则总电压和各元件的电压关系便可知。在此采用相量法分析更为方便。

首先将上图a画成用相量表示的电路图,如图b所示。图中各元件用相应的电阻、电抗、容抗表示,电流、电压用相量表示,则有:

$$ \dot{U}=\dot{U}_{R}+\dot{U}_{L}+\dot{U}_{C} $$

并以$ \dot{I} $为参考相量,做电路的相量图,如图C所示。图中三个元件电压对电流的相位关系分别是$ \dot{U}_{R} $与$ \dot{I} $同相,$ \dot{U}_{L} $超前$ \dot{I} $为90°,$ \dot{U}_{C} $则滞后$ \dot{I} $为90°。将三个元件的电压相量合成,便得到总电压相量$ \dot{U} $。

从相量图中可以得出,总电压有效值为:

$$ U=\sqrt{U_{R}^{2}+\left ( U_{L}-U_{C} \right )^{2}}=I\sqrt{R^{2}+\left ( X_{L}-X_{C} \right )^{2}} $$

相位上,总电压超前电流为$\varphi$角,记为$\varphi$>0(按习惯规定,电压超前电流时$\varphi$角为正,滞后时为负)。并有:

$$ \varphi =arctan\frac{U_{L}-U_{C}}{U_{R}}=arctan\frac{I\left ( X_{L}-X_{C} \right )}{IR}=arctan=\frac{X_{L}-X_{C}}{R} $$

由上式可知,$\varphi$角是由电路的参数$R$、$X_{L}$和$X_{C}$决定的,如果电路的参数不同,$\varphi$角便不同。若$X_{L}$=$X_{C}$,则$\varphi$=0,电压$\dot{U}$与电流$\dot{I}$相同,此时的电路可看作是电阻性电路;若$X_{L}$>$X_{C}$,则$\varphi$>0,电压$\dot{U}$超前$\dot{I}$为$\varphi$角,此时的电路可看作是电感性电路;若$X_{L}$<$X_{C}$,则$\varphi$<0,电压$\dot{U}$滞后电路$\dot{I}$为$\varphi$角,此时的电路可看作是电容性电路。

将图C中总电压与分电压关系用下式表示:

$$ \dot{U}=R\dot{I}+jX_{C}\dot{I}=\dot{I}\left [ R+j\left ( X_{L}-X_{C} \right ) \right ]=\dot{I}\left ( R+jX \right )=\dot{I}Z $$

上式称为欧姆定律的相量形式。式中的Z称为复阻抗,单位为Ω。式中X叫做电抗。将上式变换后,得:

$$Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U\angle \psi _{u}}{I\angle \psi _{i}}=\frac{U}{I}\angle \psi _{u}-\psi _{i}=\left | Z\right |\angle \varphi $$

要注意的是Z只是个复数,它不是时间的正弦函数,即不能用相量表示,故符号Z顶上不能加点。上式中复阻抗的模$\left | Z \right |$称为阻抗,总是正值,即$\left | Z \right |$>0,单位Ω。$\left | Z \right |$与$R$、$X_{L}$、$X_{C}$有如下关系:

$$ \left | Z \right |=\sqrt{R^{2}+\left ( X_{L}+X_{C} \right )^{2}}=\sqrt{R^{2}+X^{2}}$$

复阻抗$Z$的幅角$φ$叫做阻抗角:

$$\varphi =arctan\frac{X_{L}-X_{C}}{R}=arctan\frac{X}{R}$$

复阻抗可以用复数的各种形式来表示,常用的有:

$$Z=\left | Z \right |\angle \varphi =R+jX=\left | Z \right |e^{j\varphi }$$

阻抗三角形在分析计算交流电路时,复阻抗的代数形式和指数形式可按复数的性质进行互换。$R$、$X$和$|Z|$之间又构成了直三角形的关系,称之为阻抗三角形,如右图所示。从阻抗三角形中可知:

$$R=|Z|cosφ$$

$$X=|Z|sinφ$$

练一练

日光灯练习电路:日光灯电路可用$R$、$L$两个元件串联的电路来表示,如右图所示,其中$R$表示灯管和镇流器的总电阻,$L$表示镇流器的电感,若电阻$R=340Ω$,电感$L$=1.3$H$,正弦电压$U$=220V,求电路中的电流$I$及电阻和电感上的电压。

:电路总电阻$R$=340$Ω$,镇流器的感抗为:

$$X_{L}=\omega L=2\pi \times 50\times 1.3=480\Omega $$

电路总阻抗为:

$$|Z|=\sqrt{R^{2}+X^{2}}=\sqrt{340^{2}+480^{2}}=532\Omega $$

电流有效值为:

$$I=\frac{U}{|Z|}=\frac{220}{532}=0.414A$$

电阻$R$上的电压为:

$$U_{R}=IR=0.414\times 340=140.76V$$

电感$L$上的电压为:

$$U_{L}=IX_{L}=0.414\times 408=168.91V$$

由计算可知,在$R$、$L$串联的交流电路中,总电压有效值$U$与各元件上电压有效值之和是不相等的,即$U≠U_{R}+U_{L}$。

RLC并联的交流电路

下图是用相量和复阻抗表示的R、L、C并联的交流电路,各电流、电压参考方向已在图中标出。因为各并联支路的电压是相同的,所以取电压作为参考量$u=U_{m}sinωt=U\sqrt{2}sin\omega t$。根据基尔霍夫电流定律,电路的总电流为:$i=i_{R}+i_{L}+i_{C}$。由于并联电路的电源电压和各支路电流时正弦量,所以总电流应为同频率的正弦量。

RLC并联电路

$$i=I_{m}sin\left ( \omega t+\varphi \right )=I\sqrt{2}sin\left ( \omega t+\varphi \right )$$

由上式可知,只要求出电流的有效值$I$和初相位角$φ$,则i就可以知道了。用相量法作出相量图进行分析。图a中电压、电流用相量表示,各元件参数用电阻$R$、感抗$jX_{L}$和容抗$-jX_{C}$表示,则$i=i_{R}+i_{L}+i_{C}$可写成:

$$\dot{I}=\dot{I}_{R}+\dot{I}_{L}+\dot{I}_{C}$$

以$\dot{U}$为参考量,作电路的相量图,如图b所示。图中三个元件电流对电压的相位关系分别是$\dot{I}_{R}$与$\dot{U}$同相,$\dot{I}_{L}$滞后$\dot{U}$为90°,$\dot{I}_{C}$则超前$\dot{U}$为90°。将三个元件的电流相量合成,便得到总电流相量$\dot{I}$。从相量图中可以得出,总电流有效值为:

$$I=\sqrt{I^{2}_{R}+\left ( I_{L}-I_{C} \right )^{2}}=U\sqrt{\left ( \frac{1}{R} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{X_{C}}-\frac{1}{X_{L}} \right )^{2}} $$

相位上,总电流落后电压$φ$角,即为$φ<0$,并有:

$$\varphi =arctan\frac{\frac{1}{X_{C}}-\frac{1}{X_{L}}}{\frac{1}{R}}$$

由上式可知,$φ$角是由参数$R$、$X_{L}$和$X_{C}$决定的,如果参数不同,$φ$角便不同。若$X_{C}=X_{L}$,则$φ=0$,电压$\dot{U}$与电流$\dot{I}$相同,此时的电路可看作是电阻性电路;若$X_{C}>X_{L}$,则$φ<0$,电压$\dot{U}$超前电流$\dot{I}φ$角,此时电路可看作是电感性电路;若$X_{C}<X_{L}$,则$φ>0$,电压$\dot{U}$滞后电流$\dot{I}$角,此时的电路可看作是电容性电路。

练一练

RC并联电路:如右图所示,$R$、$C$并联电路,已知电流有效值$I_{1}=100A$,$I_{2}=100A$,试求总电流$i$的有效值。

:可用相量法求解。以电压做参考量$\dot{U}=U\angle 0^{\circ}V$,各支路电流相量为:

$$\dot{I}_{1}=\frac{\dot{U}}{R}=\frac{U\angle 0^{\circ}}{R}=I_{1}\angle 0^{\circ}=100\angle 0^{\circ}A$$

$$\dot{I}_{2}=\frac{\dot{U}}{-jX_{C}}=\frac{U\angle 0^{\circ}}{X_{C}\angle -90^{\circ}}=I_{2}\angle 90^{\circ}=100\angle 90^{\circ}A$$

总电流相量为:

$$\dot{I}=\dot{I_{1}+\dot{I_{2}}}=100\angle 0^{\circ}+100\angle 90^{\circ}=100\sqrt{2}\angle 45^{\circ}A$$

总电流有效值为:

$$I=100\sqrt{2}=141.4A$$

其实该题可根据图b和前面的公式直接求出总电流有效值为:

$$I=\sqrt{I^{2}_{R}+I^{2}_{C}}=\sqrt{100^{2}+100^{2}}=100\sqrt{2}=141.4A$$

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