RC串联电路的暂态过程:充电、放电、时间常数

RC串联电路的充电过程

RC串联充电电路如右图所示的电路中,开关S没有合上时,电容两端没有电压,即$u_{C}(0_{-})=0$,电路中的电流i=0。在合上S的瞬间到电容电压为E的暂态过程中,根据KCL,对回路可列出下列电压方程:

$$E=u_{R}+u_{C}=iR+u_{C}$$

根据前文《电路中的无源元件:电阻、电容和电感元件》电容部分所列公式带入上式可得出:

$$RC\frac{du_{C}}{dt}+u_{C}=E$$

此方程为一阶常系数线性微分方程,解方程得到电容电压的变化规律为(省略计算过程):

$$u_{C}\tag{1}\label{1}=E-E_{e}^{-\frac{t}{RC}}=E(1-e^{-\frac{t}{RC}})$$

电路电流的变化规律为:

$$i=\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$$

电阻上电压的变化规律为:

$$u_{R}=iR=\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}}\times R=Ee^{-\frac{t}{RC}}$$

从公式中可以得出:RC串联电路在充电过程中,电容端电压随时间按指数规律逐渐增大,经过一段时间后,电容电压与电源电动势相等,电容充电完毕;而电路电流、电阻电压则随时间按指数规律逐渐减小到零。

$u_{C},i,u_{R}$的变化曲线如下图所示。

电压电流随时间变化的曲线

需要指出,在换路水煎,电容电压$u_{C}$不会发生跃变,$u_{c}(0_{+})=u_{C}(0_{-})$,电压是连续变化的。但是电容电流却在此瞬间发生了跃变。$i_{C}(0_{-})=0,i_{C}(0_{+})=\frac{E}{R}$这是因为电容电流与电容电场能量$W_{C}$无关。电容电流改变不会使电容电场能量发生跃变,故电容电流在换路瞬间是可以跃变的,这并不违反换路定则。

RC串联电路的放电过程

如右图所示的电路中,开关S先在位置1,使电容器充电到$u_{C}=E$。在$t=0$时,将开关S由位置1拨到位置2,使RC电路与电源断开,此时电容器C对电阻R放电。当开关S拨到位置2后的一瞬间,根据换路定则,电容电压仍保持为换路前一瞬间的值,即$u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-}=E)$,接着电容就开始放电,电容电压从E值开始连续减小。在电容放电过程中,.储存在电容器极板上的电荷连续减小,电路中的放电电流i也随着电压的减小而减小,最后,电容中储存的电荷放尽,电容电压为零,电路电流i亦为零,这时电路达到了新的稳态,$u_{C}=0,i=0$

当开关合到位置2的瞬间到电容端电压为零的暂态过程中,根据KVL,对电路可列出如下电压方程:$u_{C}+i_{R}=0$

因i的参考方向与$u_{C}$参考方向相同,故有:

$$i=C\frac{du_{C}}{dt}$$

将上式代人电压方程,整理后可得:

$$RC\frac{du_{C}}{dt}+u_{C}=0$$

此方程为一阶常系数线性齐次微分方程,解方程得电容电压的变化规律为(求解过程省略):

$$u_{C}\tag{2}\label{2}=Ee^{-\frac{t}{RC}}$$

电路电流的变化规律为:

$$i=-\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$$

电阻R的电压变化规律为:

$$u_{R}=-Ee^{-\frac{t}{RC}}$$

从上几式表明,RC串联电路放电过程中,其端电压随时间按指数规律连续衰减到零,电路电流、电阻电压亦按指数规律逐渐减小到零。放电曲线如右图所示。

时间常数

在上两式$\eqref{1} ,\eqref{2} $中,RC乘积的量纲[欧(Ω)×法(F)=欧(Ω)×库(C)/伏(V)=欧(Ω)×(安(A)×秒(s)/伏(V))=秒(s)]为s,是时间的单位,所以称其为时间常数,并用τ表示。时间常数的大小决定了充电、放电过程的快慢。在E相同,R、C数值不同的两个充电电路中,尽管电容电压、电路电流由相同的初始值变化到相同的终值,但暂态过程的时间是不同的,如下右图所示。时间常数大,即R大或C小的电路中,充电速度快,充电时间就短。这是因为电容器上的电压与极板上的电荷量成正比,即$u_{C}=Q/C$,如要求充电到相同电压数值E时,电容C较大时充入的电荷Q就多,因此时间要长一些;另一方面,如果充电电路的电阻R大,充电电流i必然会小一些,电容到达同样的端电压积累同样的电荷所需的时间也会长一些。同理,在放电电路中,电容C大,储存的电荷多,放电时间必然较长;电阻R大,放电电流就小,储存的电荷多,放电时间必然较长;电阻R大,放电电流就小,放出同样数量的电荷时间也就要长一些。

时间常数也可做如下说明:RC串联电路充电过程中,经过时间$t=τ=RCs$后,电容电压恰好上升为$(1-e^{-1})E=63.2%E$,如上左图所示。因此时间常数τ可以看成是电容器充电过程中端电压增大到63.2%E时所需的时间。放电过程中,τ是电容电压已下降了63.2%E时所需要的时间。

从上两式$\eqref{1} ,\eqref{2} $可知,理论上,按指数规律电容器的充电、放电过程,必须经过无限长的时间,暂态过程才结束,而进入一个新的稳定状态。但是当暂态过程经历时间为(3~5)倍τ后,电容端电压已达到95%~99.3%的电源电动势E,因此将(3~5)倍τ作为暂态过程经历的时间。下表列出了电容器充电、放电时$u_{C}$随时间变化的情况。

uc随时间变化表格

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