RL(电阻、电感)串联电路的暂态过程

RL串联电路与直流电压源接通

RL电路接通直流电源如右图所示为电阻、电感串联电路,当开关S打开时,电感元件没有存储能量,即$i_{L}(0_{-})=0$,在t=0时,将开关S闭合,在电压源作用下,电路中将有电流流过,电感元件储存能量,由于能量的积累有一个过程,需要一定的时间,所以在开关刚合上瞬间,电流$i_{L}$不能跃变,由换路定则$i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-})=0$,电阻R上的压降$u_{R}(0_{+})=i_{L}(0_{+})\times R=0$即电阻上没有电压降,全部电压降均降落在电感L上。随着时间的推移,电感电流逐渐增大,当其增大到$i_{Lmax}=\frac{E}{R}$时,电感电压将减小为零,此时电感储存的能量达到最大值$W_{L}=\frac{1}{2}Li_{Lmax}$。电路达到一个新的稳定状态,电感L相当于短路。

在开关合上的瞬间到电流为最大值时暂态过程的规律,根据KVL,对电路可列出下列回路电压方程:

$$\begin{matrix}
u_{R}+u_{L}=E\\
i_{L}R+u_{L}=E
\end{matrix}$$

将前文《电路中的无源元件:电阻、电容和电感元件》电感部分u的计算公式代入到上式中,整理后可得:

$$L\frac{di_{L}}{dt}+i_{L}R=E$$

此方程式是一阶常系数非齐次线性微分方程,解方程得电感电路电流的变化规律为:

$$\begin{matrix}
i_{L}=\frac{E}{R}-\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{L/R}}=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{1}{L/R}})\\
u_{L}=L\frac{di_{L}}{dt}=Ee^{-\frac{R}{L}t}\\
u_{R}=i_{L}R=E-Ee^{-\frac{R}{L}t}
\end{matrix}$$

从上式可以看出,电感与直流电压接通时,电流随时间随时间按指数规律连续增大,而电感端电压—随时间按指数规律连续减小,电阻上的电压亦按指数规律连续增大。它们随时间的变化曲线如下图所示。

各参数时间变化曲线

需要指出,在换路瞬间,电感电流$i_{L}$不会发生跃变$i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-})$。但是电感上的电压却在此瞬间发生了跃变$u_{L}(0_{-}=0),u_{L}(0_{+})=E$,这是因为电感端电压与电感的磁场能量无关。电感电压在换路瞬间是可以跃变的,所以并不违背换路定则。

RL串联电路的短接

RL串联电路的短接右图所示是RL串联电路(一个实际线圈的电路模型),开关原先合在位置1,电路已处于稳态,电感已储有能量。在$t=0$时将开关S从位置1换接到2,使RL电路脱离电源被短接。此时RL电路虽然没有电源,但由于电感电流不能突变,电流不会立即消失,它将在RL回路中继续流动,电感原先储存的磁场能维持电流的流动,随着磁场能的减小,电流逐渐减小,最后为零。

对换路后的电路,根据KVL,列出t≥0时的回路电压方程:

$$u_{R}+u_{L}=0$$

将前文《电路中的无源元件:电阻、电容和电感元件》电感部分u的计算公式代入到上式中,整理后得:

$$i_{L}R+L$$

此方程亦是一阶常系数齐次线性微分方程,解方程得:

$$i_{L}R+L\frac{di_{L}}{dt}=0$$

各参数时间变化曲线求出$i_{L}$后可求出电感上的电压和电阻上的电压为:

$$\begin{matrix}
u_{R}=i_{L}R=\frac{E}{R}\times Re^{-\frac{L}{R}t}=Ee^{-\frac{L}{R}t}\\
u_{L}=-u_{R}=-i_{L}R=-Ee^{-\frac{L}{R}t}
\end{matrix}$$

$i_{L},u_{R},u_{L}$的变化曲线如右图所示。它们的绝对值都是随时间按指数规律减小到零的。

时间常数

上面的几个公式中的指数L/R具有时间量纲:

时间量纲

所以L/R也称时间常数,用τ表示,即τ=L/R。RL电路与直流电压源接通时,$i_{L}$上升的快慢是由时间常数τ决定的,也就是由电路本身的参数决定的;RL短接时,$i_{L}$衰减的快慢同样也是由τ即电路本身的参数决定的。

时间常数时间常数也可作如下说明:RL电路与电压源接通后,经过时间$t=τ=L/Rs$后,电感电流$i_{L}$恰好上升为$(1-e^-1),E/R=63.2%E/R$,如图右图所示,因此时间常数τ可以看成是电感电流增大到63.2%E/R时所需的时间。当RL电路短接时,τ是电感电流下降到63.2%E/R时所需的时间。

与电容器充放电相同,理论上RL电路的暂态过程要经过无限长的时间才结束,并进入一个新的稳定状态,但当暂态过程经历(3 ~ 5)倍τ时则认为已经结束。

RL串联电路的断路

RL电路从电源断开右图所示的电路中,电路与电源E接通后已稳定,在t=0的时刻将开关S打开,使RL电路与电源断开,电路中的电流$i_{L}$急剧下降,则电流变化率$\frac{di}{dt}$很大,在电感L两端产生很大的自感电动势$e_{L}$。这样e_{L}和电源电动势E叠加后一起加于开关S的两端,会使开关触头间的空气击穿,形成火花或电弧,从而延缓了电路的断开。

在供用电规程中,规定不允许带负荷拉开作隔离电源用的刀闸,就是因为在系统中,大多数负荷是异步电动机,其工作时相当于RL串联电路,因此系统中存在着较大的磁场能量,带负荷拉隔离刀闸时,由于它没有灭弧装置,便会在刀闸上产生很大的电弧,严重时会引起相间短路,造成重大事故。

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